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Le diciassette equazioni
che hanno cambiato il mondo

· Rapporti di uguaglianza e nessi di causalità in un libro del matematico britannico Ian Stewart ·

Un anno prima della sua morte, il matematico gallese Robert Recorde (1512ca.-1558), snervato dal dovere ripetere l’espressione «è uguale a» nel suo libro The Whetstone of Witte (La pietra per affilare l’intelletto), introdusse il simbolo di uguaglianza, commentando che «non ci fossero due cose più uguali» di due trattini orizzontali gemelli disposti l’uno sopra l’altro. Poco a poco, il segno grafico “=”, scalzando altri simboli concorrenti quale “æ” (in riferimento all’aggettivo æqualis), si impose nella raffigurazione del concetto di uguaglianza. Nell’uso previsto dal suo ideatore, tuttavia, il segno di uguale aveva una funzione precisa: unire due espressioni aritmetiche che avessero la stessa risposta all’interno di uno degli strumenti essenziali della matematica, la æquatio (termine popolarizzato da Fibonacci nel Liber abaci del 1202).

Yvain Coudert «La mela di  Newton» (2015)

L’efficacia dell’equazione deriva dal fatto che il rapporto di eguaglianza che essa stabilisce si può esprimere in vari modi, introducendo semplicemente, in ambo i lati dell’equivalenza, un valore identico (e.g., dandosi 2+3=5 e sottraendo 2 da entrambe le espressioni, si ottiene 2+3–2=5–2 e quindi, 3=5–2). Questa stessa qualità permette di risolvere un’equazione quando essa racchiude un’incognita (e.g., dandosi 2+x=5 e sottraendo 2 da entrambi le espressioni, si ottiene 2+x–2=5–2 e quindi, x=3). E, più generalmente, essa stabilisce delle relazioni certe fra dei valori variabili contenuti in un’equipollenza (e.g., dandosi 2+x=y, si ha la certezza che quando x vale 3, y vale per forza 5; e rispettivamente che quando y vale 5, x vale per forza 3).
Questa qualità spiega perché tale strumento matematico sia diventato così duttile nel descrivere le leggi fondamentali della fisica e della chimica. Si pensi alla “equazione di stato dei gas perfetti” — completata a partire dei lavori dei grandi chimici: Robert Boyle (1627-1691), Jacques Charles (1746-1823), Amedeo Avogadro (1776-1856) e Joseph Louis Gay-Lussac (1778-1850) — PV=nRT, che si può descrivere in questo modo: il valore della pressione (p) moltiplicato per quello del volume (v) è uguale a quello della quantità del gas (n) moltiplicato per quello della temperatura (t) e di una costante universale (r). Questa equivalenza permette di calcolare una incognita quando se ne conoscono le altre tre (e.g., la pressione di un gas, quando ne si sa il volume, la quantità e la temperatura). E più generalmente, di comprendere il comportamento di un gas a partire dalla relazione obbligatoria fra la sua pressione, il suo volume, la sua quantità e la sua temperatura (e.g., capire perché, in montagna, dove la pressione atmosferica è più bassa, l’acqua bolla a una temperatura inferiore ai 100° Celsius).
Le potenzialità di questo strumento matematico diventano ancora più indiscutibili quando esso diventa funzionale nello sviluppo d’innovazioni ingegneristiche (e.g., il prevedere che a pressioni più alte le temperature di evaporazione siano superiori, consentì al calvinista francese Denis Papin — che anticipando la revocazione dell’Editto di Nantes era fuggito a Londra per diventare assistente del sullodato Boyle — di ideare le digesteur, autocriticamente definendolo «un moyen de cuisson un peu brutal» come lo sperimentarono molte massaie, a loro spese, prima che le pentole a pressione fossero munite di valvole di sicurezza).

Justus Sustermans, «Galileo Galilei» (xvii secolo)

In altre parole: uno strumento logico nelle mente dei matematici è diventato un attrezzo di scoperta scientifica e di applicazione ingegneristica nelle mani di ricercatori nelle scienze naturali e d’inventori in quelle applicate. Questo è forse il messaggio più basilare dell’opera del professor Ian Stewart, «Le 17 equazioni che hanno cambiato il mondo», appena pubblicata dalla Einaudi. Non è la prima volta che il docente dell’università di Warwick si distingue per le sue capacità di divulgatore scientifico; ma, nell’opera appena completata, egli è riuscito a mettere a disposizione dei suoi lettori una piccola enciclopedia del sapere scientifico. In diciassette capitoli, altrettante equazioni sono sviscerate e il loro ruolo nello sviluppo del sapere scientifico evidenziato, facendo risaltare come le relazioni stabilite dalle eguaglianze matematiche siano state indispensabili nel comprendere le leggi dell’universo e nel saperle sfruttare.
L’equazione della legge gravitazionale universale — che impone che la forza di attrazione fra due corpi sia proporzionale alle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza che le separa — prevede i percorsi ellittici dei pianeti intorno al sole ed è stata strumentale nello sviluppo dei navigatori satellitari. L’equazione della legge della distribuzione normale — che statuisce che la probabilità di osservare un particolare valore incluso in un gruppo sia dipendente dallo scarto tipo fra il valore stesso e la media dei valori dello stesso gruppo — anticipa la possibilità del verificarsi di uragani di particolare violenza ed è utilizzata per effettuare vendite allo scoperto in borsa. L’equazione sulla propagazione delle onde — che decreta che l’accelerazione della diffusione di una vibrazione sia dipendente dalla spostamento medio dei segmenti contigui del mezzo che la veicola — spiega la produzione di un suono da parte di una corda di un violino che vibra sotto un archetto ed è impiegata dalle apparecchiature che verificano l’intensità dei terremoti per anticiparne pericolose conseguenze quali gli tsunami. 

di Carlo Maria Polvani

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23 ottobre 2019

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