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Possibilità e plausibilità

· Decisioni in un mondo pieno d’incertezze ·

A intuire per primo i meccanismi del calcolo delle probabilità per misurare l’avverarsi di eventi dalle cause non governabili, fu l’illustre matematico pavese Gerolamo Cardano (1501-1576), la cui opera Liber de ludo aleæ, pubblicata solo nel 1663, ispirò Blaise Pascal (1623-1662) e Pierre de Fermat (1601-1665) nel formulare la prima teoria aritmetica sulle probabilità. Nella sua forma più classica, enunciata da Pierre-Simon Laplace (1749-1827), la probabilità di un evento è il rapporto fra il numero di casi favorevoli al prodursi dell’episodio stesso, diviso dal numero di tutti i casi possibili, sempre che questi ultimi siano equiprobabili (la probabilità di estrarre una carta di cuori da un mazzo di 52 carte francesi senza jolly è 13/52, ossia il 25 per cento).

Non è difficile immaginare come questa definizione algebrica si estese rapidamente a casi più complessi — come gli eventi composti (ad esempio la probabilità di tirare un asso o un fiori è uguale alla probabilità di tirare un asso, più la probabilità di tirare un fiori, meno la probabilità di tirare l’asso di fiori: 4/54 + 13/54 – 1/54 = 16/54 o il 29,6 per cento) o come gli eventi condizionati (tirando quattro carte, una alla volta e senza rimetterle nel mazzo, la probabilità di ottenere un poker d’assi è uguale alla moltiplicazione delle probabilità di tirare un asso a ogni tiraggio: 4/54 x 3/53 x 2/52 x 1/51, o 3 circa su un milione).

Si capisce quindi bene perché, dal XVII secolo in poi, altri grandi matematici, come Christiaan Huygens (1629-1695) e Jakob Bernoulli (1654-1705) s’interessarono da vicino al calcolo probabilistico. Poco a poco, la teoria matematica delle probabilità svelò i suoi concetti basilari — come la “legge dei grandi numeri” che, nella sua forma migliorata da Siméon-Denis Poisson (1781-1840), prevede la tendenza statistica dei risultati di una ripetizione di una serie di eventi aleatori — sviluppò nuovi approcci interpretativi e sperimentali — come quelli introdotti del ministro presbiteriano Thomas Bayes (1702-1761) e da Richard von Mises (1883-1953) — e, più recentemente, intraprese strade alquanto innovative — con quella indicata da Andrey Kolmogorov (1901-1987) nella sua teoria unificata della probabilistica.

Visti questi notevoli sviluppi, nessuno si sorprende più, oggi, che la sfera d’applicazione del calcolo delle probabilità si sia estesa a numerose scienze applicate: dall’informatica al marketing, dai sondaggi d’opinione all’analisi tecnica dei mercati borsistici. Molti, persino, accettano, forse imprudentemente, che la probabilistica possa essere utilizzata come criterio discriminate a livello teorico (ad esempio il dilettevole paradoxe du singe savant di Émile Borel, 1871-1954) che postula che uno scimpanzè lasciato davanti a una macchina da scrivere per un tempo sufficientemente lungo riesce a riprodurre qualsiasi testo classico, è stato usato per difendere la teoria dell’evoluzione). Troppi, tuttavia, non si rendono completamente conto di quanto concreto sia il legame fra il calcolo delle probabilità e il funzionamento della mente umana. Uno dei meriti dell’opera La matematica dell’incertezza (Bologna, Il Mulino, 2016, pagine 233, euro 14) di Marco Li Calzi è appunto quello di aver illustrato la pervasività della valutazione delle probabilità nella psiche umana, sia a livello della formulazione delle ipotesi, sia a livello della presa di decisioni.

La ragione per cui la stima delle probabilità di eventi incerti influenza sia la formazione delle opinioni sia la percezione della convenienza delle scelte, si scorge in questa considerazione di John Locke (1632-1704): «La maggior parte delle proposizioni con le quali pensiamo (...) e sulla base delle quali prendiamo decisioni sono quelle di cui non possiamo avere una conoscenza certa». L’empirista britannico si era accorto che, in un modo pieno d’incertezze, la mente umana non poteva fare a meno di gestire il premio di rischio associato a ogni decisione. Eccone un ottimo esempio. Se incontrastata, l’insorgere di un’epidemia causerà 1000 morti, per scongiurare questa tragedia, bisognerà scegliere fra due possibili programmi di prevenzione: il programma a che salverà il 33 per cento delle vite, o il programma b che ha il 33 per cento di probabilità di salvarle tutte. Ci si chiede se una persona che avesse optato per uno dei due programmi, confermerebbe la sua opzione, se gli fossero presentati così: l’“a” come quella che condannerebbe 667 delle persone e il “b” come quello che, nei due terzi dei casi, non ne salverebbe nessuna?

Esempi come questo hanno lo scopo di evidenziare le procedure utilizzate dalla mente umana nel gestire l’insorgere di eventi ipotetici al momento di prendere provvedimenti concreti. Studiare come la nostra psiche gestisce i fattori di rischio permette anche di effettuare delle misure — anch’esse, fatalmente, statistiche — sulla sua capacità di non sbagliarsi quando confrontata con domande dalle risposte incerte. Il calcolo probabilistico riesce, per esempio, a fornire dei livelli di attendibilità dei verdetti emessi dalle giurie: passare da una giuria di 12 membri che per una condanna necessita una maggioranza semplice a una di 30 giurati che deve raggiungere una maggioranza qualificata, riduce di sei volte la probabilità di condannare un innocente.

Ancor più affascinante il fatto che “la matematica dell’incertezza” possa palesare come la mente umana sappia avvalersi del calcolo probabilistico a mo’ di strumento strategico. Si consideri questo gioco fra due amici. Tizio scrive due numeri interi, x più piccolo e y più grande, e li mette in due buste chiuse; Caio apre a caso una busta e prevede se il numero nella busta ancora chiusa sia superiore o inferiore; se si sbaglia, consegna un euro a Tizio, se no, quest’ultimo gliene dà uno. Il gioco sembra equo poiché davanti a un’uguale probabilità del 50 per cento di vincita e di perdita, la stessa somma è riscossa nella vittoria e persa nella sconfitta. Caio però, può avvalersi di una tattica per fare pendere l’ago della bilancia delle probabilità a suo favore. All’insaputa di Tizio, Caio sceglie nella sua mente un numero n e poi si attiene a questa regola: se il numero nella busta aperta sarà superiore a n, dirà che il numero nella busta chiusa è superiore, altrimenti, dirà che è inferiore. Tale strategia è sicuramente vincente. Nel caso in cui n sia più piccolo di x, allora lo sarà anche di y; quindi se Caio sceglierà la busta con x, vincerà, altrimenti, perderà. Nel caso in cui n sia più grande di y, allora lo sarà anche di x; pertanto, se Caio aprirà la busta con y, trionferà, se no, ci rimetterà. Nel caso in cui n sia più grande di x ma più piccolo di y, poco importa quale busta Caio selezioni, perché vincerà sempre. In altre parole, Caio avrà il 50 per cento di probabilità di vincere in 2 casi su 3 e il 100 cento di probabilità di imporsi in 1 caso su 3. Non male.

Ovviamente, se Tizio si accorgesse della strategia di Caio, potrebbe replicare con una contromossa idonea: restringere al minimo la differenza fra il valore x e y, ossia scegliere un y uguale a x + 1. Questa risposta, d’altronde è quella, che un qualsiasi giocatore, pur non conoscendo nulla di statistica, farebbe al posto di Tizio, perché ben presto si accorgerebbe, intuitivamente, del rischio associato a scegliere un valore di y troppo lontano da quello di x.

Pertanto, quanto esposto nella gradevole opera del docente presso la Ca’ Foscari chiarisce la ragione per la quale, molto prima del Rinascimento, grandi pensatori avevano intuito la raffinatezza del pensiero umano nel gestire l’incertezza. Aristotele e Cicerone (che aveva tradotto in latino i Topica dello Stagirite) avevano incominciato a percepire che il termine “probabilità” racchiudesse due accezioni: quella meglio espressa da probabilitas e quella più propriamente resa da verisimilitudo. La prima si riferisce alla possibilità che un episodio di verifichi, mentre la seconda esprime quanto plausibile un evento sia. La lezione da ritenere essendo che, mentre si gioca a testa e croce, è essenziale calcolare quanto “improbabile” sia vedere uscire 100 teste consecutive, per poter giustificare, quando questo avvenimento si produce, perché insorga in noi il sospetto che la moneta sia “verosimilmente” truccata.

di Carlo Maria Polvani

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23 luglio 2019

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